CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)

Es cualquiera de los números que se utilizan para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizaron el ser humano para contar objetos.

Por ejemplo: para poder contar cuantos peces hay en una pecera.

                     

El conjunto de los números se representa con el símbolo N, se escribe N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}. Este es un conjunto infinito porque, dado un número natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.

Orden de el Conjunto de Números Naturales

El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cual es el menor y cual es el mayor, cuando se comparam dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: 

• a es mayor que b. esta relación se escribe a>b
• a   es menor que b. esta relación se escribe a<b
• a   es igual a b. esta relación se escribe a=b

Un número natural es mayor que otro, si está colocado a la derecha de él en la recta numérica.

            Propiedades del Conjunto de Números Naturales 

                                   

• Suma de Números Naturales

En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar llamados sumandos y el resultado de la operación llamado suma.

Ejemplo :              20 + 56 + 9 = 85 

                                            a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b=C

4+10= 14

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 6) + 5 = 2 + (6 + 5)

8 + 5 = 2 + 11

13 = 13

3.Conmutativa: a + b = b + a

7 + 5 = 5 + 7

12 = 12

4. Elemento neutro: a + 0 = a

6 + 0 = 6                                                                      

• Resta de Números Naturales

En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a restar llamado minuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operación llamado resta o diferencia.

                          Ejemplo :     8 – 6 = 2

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna

  1− 5 =-4 NO PERTENECE A LOS NATURALES  

2. No es Conmutativa

              6 − 2 = 2 −6

                    

• Multiplicación de Números Naturales

En toda multiplicación de números hay tres elementos:  los números que multiplicamos llamados factores y el resultado de la multiplicación llamado producto.

   Ejemplo :       9 · 2 = 18

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a · b =C

 3 · 3 = 9

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 4) · 5 = 2· (4 · 5)

  8· 5 = 2 ·20

  40 = 40

3. Conmutativa: a · b = b · a

2 · 6 = 6 · 2

12 = 12

4. Elemento neutro: a · 1 = a

  6· 1 =6

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (2 + 5) = 2 · 2 + 2 · 5

2 · 7 = 4 + 10

14 = 14

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

             16 = 16                                                              

                                  

• División de Números Naturales

En toda división de números hay cuatro elementos: el número que vamos a dividir llamado dividendo, el número entre el que dividimos llamado divisor, el resultado de la división llamado cociente y lo que sobra después de dividir llamado resto.

                            Ejemplo :  dividendo    25 /  7  divisor

                               resto      (4) =  3    cociente 

D / d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división

1.División exacta 

          15/3 = 5 · 3

2. División entera

          17/5 = 5 · 3 + 2

3.No es Conmutativo.

                  6 / 4 = 4 / 6

4. Cero dividido entre cualquier número da cero.

                   0 / 5 = 0

          5. No se puede dividir por 0.

  

Potenciación de Números Naturales (N)

En la Potenciación multiplicamos la Bases tantas veces como lo indique el exponente.

Ejemplo:

                      

  Propiedades de la Potenciación:

   A. Multiplicación de potencia de igual Base: se coloca la misma base y se suman los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n

2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

  

    B. Division de potencias de igual Base:   se coloca la misma base y se restan los exponentes.

    C. Potencias de otra Potencia: se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

       

     D. Potencia de un Producto: Cuando se tiene una multiplicación (a.b) y está elevado a un exponente (n), la operación se puede descomponer elevando a cada término de la multiplicación por el exponente.

                                       

     E. Potencia de una División: 

    

2) CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (Z)

Se denota con la letra (Z), tanto los números positivos como los números negativos, ubicados en la recta númerica. 

                             -Z                                + Z     

Orden de un Número Entero:

- todo número negativo es menor que cualquier número positivo e incluso el 0.        

- Entre 2 números negativos el mayor de ellos sera el que este mas cercano al número 0.

-3 < 1

0 > 1276

-20 > -600

Regla de los Signos:

- Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo.

      

                                     5+7= 12

- Signos distintos se restan y se coloca el signo del número mayor.

         A)  -2 + 10 = 8        B) 4 - 14 = -10         C) 5 - 3 = 2       

Tabla de los Signos

                               

Eliminación de Signos de agrupación

Signos de agrupación

( )	paréntesis
[ ]	Corchetes
{ }	llaves

Estos signos se emplean para indicar que cantidades contenidas en ellas se consideran como una sola cantidad. También indican que las oporaciones que estan dentro de ellas deben efectuarse primero.

Jerarquia de las operaciones

Las operaciones se tienen que resolver en el siguiente orden. Operaciónes dentro de signos de agrupación en el siguiente orden:Paréntesis(), corchetes[] y llaves {}.

Evaluar todos los exponenetes.

Primero resuelve las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

y despues resuelve las suma y las restas de izquierda a derecha.

Suma de números enteros 

                               

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ejemplos:        – 3   +  – 8  =   – 11      (sumo y conservo el signo)

                         12   +   25  =   37       (sumo y conservo el signo)

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b              3 + (−5)   

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a      (−5) + 0 = − 5            

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

− (−5) = 5

Resta en Z

    

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta

b)         Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ejemplo:      –3  –  10   

a) cambiamos el signo de resta por el de suma:

  –3    +  10 

b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo de operación (que ahora es el +): se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)         Cambiar el signo de la resta en suma y

– 3 + – 10 =    –13   (signos iguales se suma y conserva el signo).

Propiedades de la resta de números enteros

1. Interna: a − b   

10 − (−5)   

2. No es Conmutativa: a - b ≠ b - a

         5 − 2 = 2 – 5   

                      Multiplicación de Números Enteros

  

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

                                                                                                             

+   •    +    =    +

–   •   –     =    +

+   •   –     =   –

–  •   +     =   –

Ejemplos:   – 5   •    – 10   =    50    (5  •   10   =    50;   –  •   –   =   +)

                               12  •    – 4    =   – 48    (12 •   4   =     48;    + •  –   =   –)

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna: a · b           

     2 · (−5)   

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa: a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2         -10 = -10

4. Elemento neutro: a ·1 = a

  (−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)     

La División de Números Enteros.

 

Para dividir números enteros debes que tener en cuenta las misma reglas que en la multiplicación. 

La división no es una operación interna en el conjunto de los números enteros. Es decir que al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero.

Potenciación con Números Enteros 

     

Se utiliza para abreviar la multiplicación de un mismo número cuyo producto se realiza varias veces
El  producto   a·a·a·a·a·a  tiene sus seis factores iguales. Este producto se indica en forma abreviada como  a⁶.

a⁶  se llama potencia de  base  a   y  exponente  6.

Potencia  es una operación que consiste en multiplicar la base  por si mismo  tantas veces como indique el exponente

 
Ejemplo: 5³ es una potencia que tiene por base  5  y  por exponente  3;  por eso multiplicamos la base 5  tres veces: 5³ = 5·5·5 = 125

Ejemplo : (–3)² es una potencia de base  (–3)  y  exponente  2;  multiplicamos la base  (–3)  dos veces:  (– 3)² = (– 3)·(– 3) = 9

Propiedades de la potencia:

Todo número elevado a 1, es el propio número.

Ejemplo: 5¹ = 5;  4¹ =  4: (–11)¹ = –11.
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no tiene exponente, se supone que es  1

Todo número (distinto de cero) elevado a  0  es  1. 

Ejemplo: 11⁰ = 1; 329⁰ = 1; –7⁰ = –1.

3) Ecuaciones de Números Naturales y 

Números Enteros

  

- Ecuaciones de Números Naturales:

Es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Ejemplo:

La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Hallar los tres números?

Solución:

 Primer número  Segundo  Tercero 
            X                   x + 1        x + 2

Como la suma de los tres enteros consecutivos es 48 ( es significa aquí =), podemos escribir una ecuación:

  x + x + 1 + x + 2 = 48

Resolviendo obtenemos: 
  3x + 3   =  48 
         3x  =  48  + -3 
         3x  =  45 
         3x  =  45 
         3         3

          x   =  15

De modo que el primer número es,  x = 15;  el segundo número es x + 1 = 16 
Y el tercer número,  x + 2 = 17.

- Ecuaciones de Números Enteros:

   

Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, los cuales se denominan miembros de la ecuación. En ellas aparecen números y letras (incógnita) relacionadas mediante una operación matemática.

                           

Ecuaciones Lineales

Una ecuación es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita. En las ecuaciones lineales la incógnita no está elevada a ninguna potencia.

Ejemplo 4x + 3 = 23

Para resolver esta ecuación se debe colocar en un lado de la igualdad los términos con incógnita y al otro lado de la igualdad los datos numéricos y luego realizar las operaciones según corresponda.

               4x + 3 = 23

              4x = 23 + -3

              4x = 20

                x = 20

                       4

                x = 5

   

      

 

UNIDAD EDUCATIVA "LITIN"

ALUMNA: JOEMI DA SILVA

SECCIÓN: 7º D

PROF. : MAXIMO TOVAR